[GER-MT] 15.1 – Apostila

GEOMETRIA – ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Área é a medida de superfície de um determina­do objeto. A unidade padrão SI para área é o metro quadrado ( m² ).

1) Ideia Básica para o Cálculo da Área:

Uma ideia inicial para cálculo de área é a construção de qua­drados de 1m por 1m dentro da figura. Assim o valor da área será a quantidade de quadrados dentro da figura. Observe o exemplo:

Assim a área do retângulo acima é 54 m².

Um problema deste método é que nem sempre conseguimos um número exato de quadradinhos. Observe os exemplos abaixo:

E como resolvemos este problema?

Este problema foi resolvido por um matemático alemão cha­mado Bernhard Riemann (17/07/1826 – 20/06/1866), por um método denominado “Soma de Riemann”, que consiste em divi­dir infinitamente a figura em quadradinhos cada vez menores, assim todos os quadradinhos ficarão corretamente alocados na figura. Assim é só somar os infinitos quadradinhos!

Pode parecer estranho “somar infinitos quadradinhos”, porém Riemann desenvolveu este método que deu origem a todas as fórmulas de área que conhecemos hoje.

 

2) Formulações para o Cálculo dos Valores de Área:

a) Quadrado

Quadrilátero que possui os quatro lados iguais e os quatro ângulos internos congruentes a 90°. Um exemplo de quadrado é a face de um dado.

\(A_{quadrado}=l^2\)

Onde l é o lado do quadrado

 

b) Retângulo

Quadrilátero que possui lados opostos iguais dois a dois e os quatro ângulos internos congruentes a 90°. Um exemplo de retângulo é um campo de futebol.

\(A_{retangulo}=b\times h\)

Onde b é a base do retângulo e h é a altura do retângulo.

 

c) Losango

Quadrilátero que possui os quatro lados iguais e os ângulos internos opostos iguais dois a dois. Um exemplo de losango é a parte amarela da bandeira brasileira.

\(A_{losango}=\frac{D\times d}{2}\)

Onde D é a diagonal maior e d é a diagonal menor

 

d) Trapézio

Quadrilátero que possui somente dois lados paralelos.

\(A_{trapezio}=\frac{(B+b)\times h}{2}\)

Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura do trapézio.

 

e) Triângulo

Polígono de três lados.

⇒ Situação 1:

\(A_{triangulo}=\frac{b\times h}{2}\)

Onde b é a base do triângulo e h é a altura do triângulo.

 

⇒ Situação 2:

\(A_{triangulo}=\frac{1}{2}\times a\times b \times sen\alpha\)

Onde a e b são lados do triângulo e α é o ângulo entre os dois lados

 

⇒ Situação 3:

Fórmula de Hierão

\(A_{triangulo}=\sqrt{p\times(p-a)\times(p-b)\times(p-c)}\)

Onde a, b e c são os lados do triângulo e \(p=\frac{a+b+c}{2}\)

 

f) Circunferência

Dado um ponto P0, uma circunfe­rência de centro em P0, é o conjunto de pontos que têm a mesma distância r de P0.

⇒ Comprimento da circunferência:

Imagine uma circunferência feita com uma linha. Se cortar­mos essa linha e a medirmos, isso será o comprimento da circunferência, ou seja, o comprimento da circunferência é a medida do seu bordo.

Ccircunferência = 2πr

Onde r é o raio da circunferência.

⇒ Área da circunferência:

Acircunferência = πr²

Obs.: O valor do número π=3,141592… só deve ser substituido quando o exercício indicar, caso contrário deve-se deixar como π.