[GER-MT] 3.1 – Apostila

FRAÇÕES

Uma fração é definida como a divisão de dois números tais que: \(\frac{a}{b} = \left \{ a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \;e\; b \neq 0 \right \}\)

Onde a é chamado numerador e b é o denominador.

 

1) Significado Geométrico de uma Fração:

Como visto acima uma fração é a divisão de um objeto, assim o denominador representa em quantas partes o objeto será dividido e o numerador é a quantidade de partes que vamos “pegar” do objeto.

Exemplos:

2) Tipos de Frações: 

a) Frações próprias

Denominador maior que o numerador, ou seja, representa um número menor que um inteiro.

Exemplos:

\(\frac{1}{2}\;\;\frac{4}{5}\;\;\frac{2}{3}\;\;\frac{14}{19}\;\;\)

 

b) Frações impróprias

Numerador é maior que o denomina­dor, ou seja, representa um número maior que um inteiro.

Exemplos:

\(\frac{5}{4}\;\;\frac{20}{3}\;\;\frac{10}{7}\)

 

c) Frações aparentes

O numerador é um múltiplo do deno­minador.

Exemplos:

\(\frac{6}{2}\;\;\frac{24}{6}\;\;\frac{8}{4}\)

 

d) Números mistos

São números compostos por uma parte inteira e outra fracionária.

Exemplos:

\(3\frac{1}{2}\;\;\;1\frac{1}{6}\)

 

e) Frações equivalentes

Duas frações são equivalentes quan­do representam a mesma quantidade do total.

Exemplos:

\(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=…\)

 

f) Frações irredutíveis

São as frações que não podem ser mais simplificadas.

Exemplos:

\(\frac{1}{2}\;\;\frac{3}{4}\;\;\frac{3}{8}\;\;\)

 

3) Operações com Frações:

a) Adição e Subtração

⇒ 1° Caso – Denominadores iguais: Mantemos o denomina­dor e efetuamos as operações no numerador.

Exemplos:

\(\frac{3}{8}+\frac{2}{8} = \frac{3+2}{8}=\frac{5}{8}\)

\(\frac{7}{8}-\frac{13}{8} = \frac{7-13}{8}=-\frac{6}{8}\)

⇒ 2° Caso – Denominadores diferentes: Reduzimos as frações ao mesmo denominador e voltamos ao primeiro caso.

Exemplos:

\(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\\\\mmc(2,3)=6, logo\\\\ \frac{3}{6}+\frac{4}{6} = \frac{7}{6}\)

\(\frac{1}{4}-\frac{3}{5}=\frac{5}{20}-\frac{12}{20}=-\frac{7}{20}\)

 

b) Multiplicação

Para a multiplicação, multiplicaremos numerador com nu­merador e denominador com denominador.

Exemplos:

\(\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times 4}{3\times 5}=\frac{8}{15}\)

\(\frac{6}{5}\times (-\frac{2}{3}) = -(\frac{6 \times 2}{5 \times 3})= -\frac{12}{15} =-\frac{4}{5}\)

 

c) Divisão

Para efetuarmos a divisão procederemos da seguinte forma: “Manteremos a primeira e multiplicaremos pelo inverso da segunda”.

Exemplos:

\(\frac{\frac{7}{2}}{\frac{2}{5}}=\frac{7}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{35}{4}\)

\(\frac{\frac{2}{9}}{3}= \frac{2}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}\)

 

d) Potência

Quando elevamos uma fração a certos expoente é o mes­mo que elevar o numerador e o denominador ao mesmo expoente.

Exemplo:

\((\frac{4}{3})^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27}\)

 

e) Radiciação

Quando extraímos uma raiz n-ésima de uma fração é o mesmo que extrair a mesma raiz n-ésima do numerador e denominador.

Exemplo:

\(\sqrt{\frac{81}{4}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}=\frac{9}{2}\)

 

 

4) Problemas com Frações:

Um dos grandes problemas envolvendo frações é calcular uma fração de certa quantidade. Veja o exemplo:

Do meu salário de R$ 900,00 gastei \(\frac{1}{3}\) no pagamento de minhas contas. Quanto gastei pagando minhas contas?

Solução: Para resolver este tipo de problema necessitamos calcular de R$ 900,00. Então:

\(\frac{1}{3}\;de\;900=\frac{1}{3}\times 900=\frac{1}{3}\times \frac{900}{1} = \frac{900}{3} = 300\)

Portanto gastei R$ 300,00 para o pagamento de dívidas.

Observação: A preposição de, em matemática, tem significado de multiplicação.

 

 

5) Dízimas Periódicas:

Uma dízima periódica é um número decimal com infinitas casas decimais cujas casas decimais seguem um período. Es­tas dízimas periódicas são geradas por frações e essas frações recebem o nome de frações geratrizes.

Exemplos:

Qual a fração que gera a dízima 0,4444444… ?

Solução:

Seja x=0,444444444… então obteremos que:

10∙x=4,444444444444…

x=0,444444444…

Subtraindo uma da outra chegamos que:

\(9x=4\Rightarrow x=\frac{4}{9}\)

Portanto a fração que gera a dízima 0,4444… é \(\frac{4}{9}\) .

 

Qual a fração que gera a dízima 2,1717171717171717…

Solução:

Seja x=2,17171717171717… então obteremos que:

100∙x=217,1717171717171…

x=2,17171717171…

Subtraindo uma da outra chegamos que:

\(99x=215\Rightarrow x=\frac{215}{99}\)

Portanto a fração que gera a dízima 2,17171717171717171… é \(\frac{215}{99}\)