[GER-MT] 10.1 – Apostila

FUNÇÕES

Uma função é uma relação binária (relação entre dois números) que associa todo número de um conjunto a outro número, de maneira única, de outro conjunto.

Notação: f: A→B , lemos “a função f que vai do conjunto A para o conjunto B”

A lei de associação de uma função é a regra pela qual associamos os dois conjuntos.

Como exemplo tome a seguinte função f: A→B onde:

Assim observe que para cada elemento do conjunto A asso­ciamos ao seu dobro no conjunto B. Assim para cada n∈A temos que 2n∈B, portanto escrevemos que a lei de associação é f(x)=2x.

Definição: Chamamos de domínio da função f como o con­junto de partida das associações e definimos como contra domínio da função o conjunto de chegada das associações.

Tome então o seguinte exemplo, seja a função f:A→B onde A={0,1,2,3,4,5} e B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} cuja lei de as­sociação é f(x)=x+1. Assim podemos construir o seguinte diagrama:

Assim chegamos que o domínio da função f é Df={0,1,2,3,4,5} e o contra domínio da função f é CDf={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

 

Chamamos de imagem da função f o conjunto de todos os elementos do contra domínio da função que recebem associação dos elementos do domínio.

Logo a imagem da função acima é Imgf={1,2,3,4,5,6}.

 

1) Funções Polinomiais de 1º grau:

Uma função \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por f(x)=ax+b com a≠0 é dita uma função polinomial de 1º grau, ou simplesmente uma função de 1º grau.

O coeficiente a da função é dito coeficiente angular e o coefi­ciente b é dito coeficiente linear.

Exemplos:

a) f(x)=3x+7 onde a=3 e b=7

b) f(x)=x-4 onde a=1 e b=-4

c) f(x)=-4x+9 onde a=-4 e b=9

d) f(x)=x onde a=1 e b=0

 

a) Gráfico de uma função polinomial de 1ºgrau

Como a lei de associação de uma função de 1º grau é y=ax+b temos que seu gráfico é uma reta. Esta reta é bem determina­da pelos coeficientes da lei de associação.

 

b) Análise dos Coeficientes de uma Função Polinomial de 1ºGrau

⇒ Coeficiente angular: O coeficiente angular determina a inclinação da reta. Assim se a>0 a reta é crescente e se a<0 a reta é decrescente.

⇒ Coeficiente linear: O coeficiente linear determina o ponto em que a reta intercepta o eixo y, isto é, o ponto (0,b) perten­ce ao gráfico.

Obs.: Para calcularmos o ponto onde o gráfico intercep­ta o eixo x devemos resolver a seguinte equação f(x)=0.

Então:
ax+b=0
ax=-b
x=-b/a
Logo o ponto \((-\frac{b}{a},0)\) pertence ao gráfico da função.

Exemplo:

Vamos analisar a função \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por f(x)=-2x-6.

i) A lei de associação da é um polinômio de 1º grau, logo é uma função polinomial de 1º grau.

ii) Observe que o coeficiente angular a=-2 assim a reta é decrescente.

iii) Como o coeficiente linear é b=-6 o gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,-6)

iv) O gráfico da função intercepta o eixo x quando:
-2x-6=0
-2x=6
x=-6/2
x=-3

Logo o ponto (-3,0) pertence ao gráfico da f.

 

 

2) Funções Polinomiais de 2º Grau:

Uma função\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por f(x)=ax²+bx+c com a≠0 é dita uma função polinomial de 2º grau, ou simplesmente uma função de 2º grau.

Exemplos:

a) f(x)=2x²-x+6 onde a=2, b=-1 e c=6

b) f(x)=x²+3x onde a=1, b=3 e c=0

c) f(x)=6x²-36 onde a=6, b=0 e c=-36

d) f(x)=x²-x-1 onde a=1, b=-1 e c=-1

 

a) Gráfico de uma Função Polinomial de 2ºGrau

Como a lei de associação de uma função de 2º grau é y=ax²+bx+c temos que seu gráfico é uma parábola. Esta pará­bola é bem determinada pelos coeficientes da lei de associação.

 

b) Análise dos Coeficientes de uma Função Polinomial de 2º Grau

Coeficiente α: O coeficiente α determina a concavidade da parábola. Se α>0 a parábola tem concavidade para cima e se α<0 a parábola tem concavidade para baixo.

Coeficiente c: O coeficiente c indica o ponto em que a parábola intercepta o eixo y, isto é, o ponto (0,c) pertence ao gráfico.

Observações importantes:

1) Pontos que interceptam o eixo x: Para calcularmos onde a parábola intercepta o eixo x devemos resolver a equação ax²+bx+c=0. Assim temos as seguintes opções para o gráfico:

Ou seja:

\( \left \{ \begin{matrix} \Delta < 0 \Rightarrow S= \varnothing \Rightarrow nao\; intercepta\;nem\;toca\;o\;eixo\;x \\ \Delta=0 \Rightarrow S=\left \{ x_{1} \right \}\Rightarrow intercepta\;o\;eixo\;x\;em\;um\;unico\;ponto \\ \Delta > 0 \Rightarrow S=\left \{ x_{1},x_{2} \right \}\Rightarrow intercepta\;o\;eixo\;x\;em\;dois\;pontos\;distintos \end{matrix} \right. \)

2) Vértice de uma parábola: O vértice V=(Vx  , Vy) de uma pa­rábola, que também é também chamado de ponto de inflexão ou ponto crítico ou ponto de máximo/mínimo, é o ponto de simetria da parábola e que pode ser calculado por:

\(V=(V_{x}=-\frac{b}{2a}\;\;,\;\;V_{y}=-\frac{\Delta}{4a})\)

Exemplo:

Vamos analisar a função \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por f(x)=x²-2x-3.

i) A lei de associação da f é um polinômio de 2º grau, logo f é uma função polinomial de 2º grau.

ii) Observe que o coeficiente angular α=1 assim a parábola tem concavidade para baixo.

iii) Como o coeficiente c=-3 o gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,-3).

iv) O gráfico da função f intercepta o eixo x quando:

\(x^2-2x-3=0\\ \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-2)^2-4\times 1 \times (-3)\\ \Delta=4+12=16 \rightarrow intercepta\;x\;em\;dois\;pontos\\\\
x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\Rightarrow x=\frac{2 \pm 4}{2}\\\\
x_{1}=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3 \rightarrow ponto\;(3,0)\\
x_{2}=\frac{2-4}{2}=-\frac{2}{2}=-1 \rightarrow ponto\;(-1,0)\\\\
V_{x}=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-2)}{2 \times 1}=1\\
V_{y}=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{16}{4 \times 1}=-4\\\)

 Logo o ponto (1,-4) pertence ao gráfico da f