[GER-MT] 2.1 – Apostila

ARITMÉTICA

1) Teoria dos Números:

Todo número da forma 2n para todo \(n \in \mathbb{N}\) é dito um número par. Assim o conjunto P dos números pares é o conjunto P={0,2,4,6,8,10,…}.

Todo número da forma 2n+1 para todo \(n \in \mathbb{N}\) é dito um número ímpar. Assim o conjunto I dos números ímpares é o conjunto I={1,3,5,7,9,11,…}

 

2) Divisibilidade:

Dizemos que um número a é divisível por um número b se existe um\(x \in \mathbb{N}\) tal que \(a=b \times x\), isto é, o número a é um múlti­plo do número b.

Exemplos:

  • O número 8 é divisível por 2 , pois existe\(x=4 \in \mathbb{N}\) onde \(8 = 2 \times 4\).
  • O número 14 não é divisível por 3 , pois não existe \(x \in \mathbb{N}\) tal que \(14 = 3 \times x\)

a) Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando seu último algarismo é par.

Exemplos:

23.452 é divisível por 2 , pois termina em 2

34.549 não é divisível por 2 , pois termina em 9

 

b) Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algaris­mos é divisível por 3.

Exemplos:

23.490 é divisível por 3 , pois (2+3+4+9+0=18) que é divisível por 3

39.232 não é divisível por 3 , pois (3+9+2+3+2=19) que não é divisível por 3.

 

c) Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos alga­rismos são divisíveis por 4.

Exemplos:

45.520 é divisível por 4 , pois 20 é divisível por 4

67.513 não é divisível por 4 , pois 13 não é divisível por 4

 

d) Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando seu último algarismo é 0 ou 5.

Exemplos:

75.505 é divisível por 5 , pois termina em 5

69.663 não é divisível por 5 , pois termina em 3

 

e) Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se ele é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:

23.490 é divisível por 6 , pois é divisível por 2 e por 3

35.042 não é divisível por 6 , pois não é divisível por 3

 

f) Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando seus três últimos alga­rismos são divisíveis por 8.

Exemplos:

56.104 é divisível por 8 , pois 104 é divisível por 8

79.164 não é divisível por 8 , pois 164 não é divisível por 8

 

g) Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algaris­mos é divisível por 9.

Exemplos:

23.490 é divisível por 9 , pois (2+3+4+9+0=18) que é divisível por 9

39.232 não é divisível por 9 , pois (3+9+2+3+2=19) que não é divisível por 9.

 

h) Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em 0.

Exemplos:

237.940 é divisível por 10 , pois termina em 0

569.897 não é divisível por 10 , pois termina em 7

 

3) Números Primos:

Um número é dito primo se ele possui apenas dois divisores diferentes, caso contrário ele é dito um número composto.

Exemplos:

[18] é um número composto, pois possui como divisores os números 1, 2, 3, 6, 9 e 18

[23] é um número primo, pois possui apenas os números 1 e 23 como seus divisores

[1] é um número composto, pois possui apenas o número 1 como divisor

[2] é um número primo, pois possui como divisores os números 1 e 2

Observação: O número 2 é o único primo par

 

 

4) Teorema Fundamental da Aritmética:

Dado um número natural n≥2, podemos decom­por este número num produto de fatores primos, além disso, essa decomposição é única. Como exemplo, vamos decompor 630 como um produto de fatores primos, para isso utilizamos o seguinte dispositivo:

\(\begin{array}{r|r}
630&2\\
315&3\\
105&3\\
35&5\\
7&7\\
1
\end{array}\)

 

Então temos que 630=2∙3∙3∙5∙7 é a decomposição em fatores primos do número 630

 

a) MMC (Mínimo Múltiplo Comum)

Como o próprio nome diz o MMC de dois ou mais números é o menor dos múltiplos comuns. Antes de um mecanismo prático para cálculo, vamos entender o que é o MMC. Para isto vamos encontrar o MMC entre 4 e 6.

⇒ Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,…

⇒ Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,…

⇒ Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24, 36, 48,…

Dentre os múltiplos diferentes de zero, o menor deles é o 12. Assim mmc(4,6)=12.

 

⇒ Dispositivo prático para o cálculo do MMC

Vamos calcular o mmc(24,30). Observe que:

\(\begin{array}{rr|r}
24&30&2\\
12&15&2\\
6&15&2\\
3&15&3\\
1&5&5\\
1&1
\end{array}\)


Assim
mmc(24,30)= 2∙2∙2∙3∙5 =120

 

b) MDC (Máximo Divisor Comum)

Como o próprio nome diz o MDC de dois ou mais números é o maior dos divisores comuns. Antes de um mecanismo prático para cálculo, vamos entender o que é o MDC. Para isto vamos encontrar o MDC entre 12 e 18.

⇒ Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 e 12

⇒ Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18

⇒ Divisores comuns de 12 e 18: 1, 2, 3 e 6

Dentre os divisores comuns, o maior deles é o 6, então mdc(12,18)=6

 

⇒ Dispositivo prático para cálculo do MDC

Vamos calcular o mdc(72,84). Observe que:

\(\begin{array}{rr|r}
72&84&2*\\
36&42&2*\\
18&21&2\\
9&21&3*\\
3&7&3\\
1&7&7\\
1&1
\end{array}\)

Note que marcamos com * os números que dividem ambos os números. Assim, mdc(72,84)=2∙2∙3=12

 

c) Relação entre o MMC e o MDC

Dados dois números a e b. Então temos a seguinte igualdade:

\(mmc(a,b)\times mdc(a,b)=a \times b\)