[GER-MT] 11.1 – Apostila

GEOMETRIA – IDÉIAS AXIOMÁTICAS E POLÍGONOS

1) Definições Axiomáticas:

Uma definição é dita axiomática quando o elemento ou fato descrito não necessita de uma definição formal.

a) Ponto

Um pingo de tinta em um papel. Dizemos que um ponto é uma entidade adimensional, ou seja, possui medida nula. Os pontos serão representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto.

 

b) Reta

Um pedaço de linha esticado. Para determinarmos uma reta é necessário somente dois pontos. As retas serão representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto.

Notação: \(\overleftrightarrow{AB}\) ⇒ Reta r que passa pelos pontos A e B

 

c) Plano

Uma folha de papel. Para determinarmos um plano necessitamos de duas retas ou de três pontos não colineares. Os planos serão representados por letras minúsculas do alfabeto grego.

Obs.: Três ou mais pontos são ditos colineares se eles pertencem à mesma reta.

O plano π é determinado pelas retas r e s e também determi­nado pelos pontos A, B e C que não são colineares.

 

d) Ângulo

É a medida da abertura entre duas retas. Os ângulos serão representados por letras minúsculas do alfabeto grego.

No ângulo α=AÔB temos que o ponto O é o vértice e as retas \(\overrightarrow{OA}\) e \(\overrightarrow{OB}\) são os lados do ângulo.

 

e) Retas Paralelas

Duas retas são paralelas se não possuem nenhum ponto em comum. Caso contrário diz que elas são concorrentes.

f) Retas Perpendiculares

Duas retas são perpendiculares se, além de con­correntes, o ângulo formado por elas é de 90°.

 

2) Figuras Geométricas Especiais:

a) Polígonos

Um polígono é uma figura geométrica compos­ta por segmentos de retas. Uma caracterização importante dos polígonos é sua quantidade de lados e a quantidade de ângulos internos.

⇒ Triângulos: polígonos com três lados e três ângulos internos.

Para qualquer triângulo temos que α+β+γ=180°

 

⇒ Quadriláteros: polígonos com quatro lados e quatro ângulos internos.

Para qualquer quadrilátero temos que α+β+γ+θ=360°

Com respeito aos polígonos de cinco, seis, sete,… não pode­mos afirmar nada de especial além de possuírem n lados e n ângulos internos.

 

b) Polígonos Regulares

Um polígono é dito regular quando todos os seus lados têm a mesma medida e seus ângulos internos são todos congruentes.

Dado um polígono regular com n lados temos que cada ângulo interno Ai é dado por:

\(A_{i}=\frac{180^{\circ}\times(n-2)}{n}\;onde\;n \geq3\)

⇒ Polígono regular de três lados – Triângulo Equilátero

Pela fórmula temos n=3 ⇒ Ai =60°

 

⇒ Polígono regular de quatro lados – Quadrado

Pela fórmula temos n=4 ⇒ Ai =90°

 

⇒ Polígono regular de cinco lados – Pentágono

Pela fórmula temos n=5 ⇒ Ai =108°

 

⇒ Polígono regular de seis lados – Hexágono

Pela fórmula temos n=6 ⇒ Ai =120°

 

E assim sucessivamente…