[GER-MT] 4.1 – Apostila

POTÊNCIAS E RAÍZES

1) Potências:

A representação em potências é utilizada para denotar a multiplicação de um mesmo fator a um número finito b de vezes. Assim:

\(a^b=\underset{b\; vezes}{\underbrace{(a\times a\times a\times a\times…\times a)}}\)

Onde a é dita base da potência e b é o expoente da potência.

Exemplos:

\(2^3=2\times 2\times 2=8\\\\
(-3)^2 = (-3)\times (-3)=9\\\\
(-2)^3 = (-2)\times (-2)\times (-2)=-8\)

Observação:
(positivo)(par ou ímpar) = positivo
(negativo)par = positivo
(negativo)ímpar = negativo

a) Propriedaes

⇒ Propriedade 1:

\(a^0=1 \;\;\;\forall \;a\in \mathbb{R}\mid a \neq 0\)

 

⇒ Propriedade 2:

\(a^1=a \;\;\;\forall \;a\in \mathbb{R}\)

 

⇒ Propriedade 3:

\((a\times b)^n =a^n \times b^n\\\\
Ex: (2x)^2 = 4x^2\)

 

⇒ Propriedade 4:

\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\\\\
Ex:(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}\)

 

⇒ Propriedade 5:

\(a^n\times a^m = a^{n+m}\\\\
Ex: 2^2 \times 2^3=2^5\)

 

⇒ Propriedade 6:

\(\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\\\\
Ex: \frac{5^8}{5^2}=5^6\)

 

⇒ Propriedade 7:

\((a^n)^m=a^{n\times m}\\\\
Ex: (2^2)^3=2^6\)

 

⇒ Propriedade 8:

\(a^{-n} = (\frac{1}{a})^n\\\\
Ex: (\frac{2}{3})^{-3}=(\frac{3}{2})^3=\frac{3^3}{2^3}=\frac{27}{8}\)

Observações:

  • Note que (-3)² ≠ -3²
  • Como definimos na propriedade 1, a expressão 00 não é definida, portanto 00

 

2) Raízes:

A operação de radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim:

\(\sqrt[n]{b}=a \Leftrightarrow a^n =b\;\; \forall\; n\geq2\)

Onde n é o índice, b é o radicando e a é a raiz.

Observação: A ausência de índice no sinal de radiciação signi­fica que n=2.

Exemplos:

\(\sqrt[3]{8}=2\;\;pois\;\;2^3=8\\\\
\sqrt[4]{81}=3\;\;pois\;\;3^4=81\\\\
\sqrt[5]{-32}=-2\;\;pois\;\;(-2)^5=-32\\\\\)

IMPORTANTE!

\(\sqrt[impar]{positivo\;ou\;negativo}\Rightarrow sempre\;tem\; raiz\\\\
\sqrt[par]{positivo}\Rightarrow sempre\;tem\; raiz\\\\
\sqrt[par]{negativo}\Rightarrow nunca\;tem\; raiz\\\\\)

a) Propriedaes

⇒ Propriedade 1:

\(\sqrt[n]{0} = 0\; \forall\; n \geq2,n \in \mathbb{N}\)

⇒ Propriedade 2:

\(\sqrt[n]{1} = 1\; \forall\; n \geq2,n \in \mathbb{N}\)

⇒ Propriedade 3:

\(\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\times b}\;\; \forall\; a,b \in \mathbb{R} \;\;tal\;que\; a>0 \;e\;b>0\\\\
Ex: \sqrt{2}\times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}\)

⇒ Propriedade 4:

\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\\\
Ex: \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{2}}=\sqrt[n]{\frac{x}{2}}\)

⇒ Propriedade 5:

\({\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m \times n]{a}\\\\
Ex: \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[4 \times 3]{x}=\sqrt[12]{x}]\)

⇒ Propriedade 6:

\((\sqrt[n]{a})^m= \sqrt[n]{a^m}\\\\
Ex: (\sqrt[4]{9})^2= \sqrt[4]{9^2}=\sqrt[4]{81}=3\)

⇒ Propriedade 7:

\(x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^a}\\\\
Ex: 2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}\)

 

3) Racionalização de Denominadores:

Quando lidamos com frações e raízes n-ésimas evitamos dei­xar o sinal do radical no denominador da fração. Assim para eliminá-lo do denominador da fração utilizamos o mecanis­mo de racionalização. Este método consiste na multiplicação do numerador e do denominador por certo fator afim de “desaparecer” a raiz do denominador.

Exemplos:

\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\
\frac{2}{\sqrt[3]{3}}=\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\times \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}=\frac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}}=\frac{2\sqrt[3]{3}}{3}\)