[GER-MT] 9.1 – Apostila

RAZÃO, PROPORÇÃO E REGRA DE TRÊS

1) Razão:

Definimos a razão entre duas quantidades como a divisão de uma por outra.

Exemplos:

a) Um carro percorre 12 quilômetros com 1 litro de gasolina, assim a razão da distância percorrida pelo carro pelo volume de combustível é de:

\(\frac{dist.\; percorrida}{volume\;de\;combust.}=\frac{12km}{1l}\)

Leia-se: 12 está para 1

 

b) Uma padaria produz 15 pães a cada 3 minutos, assim a razão entre a quantidade de pães produzida e o tempo é de:

\(\frac{qtd\;de\;paes}{tempo}=\frac{15\;paes}{3\;min}\)

Leia-se: 15 está para 3

 

c) Uma sala de aula possui 12 meninos e 18 meninas, assim a razão entre o número de meninos e o número de meninas é:

\(\frac{qtd\;de\;meninos}{qtd\;de\;meninas}=\frac{12}{18}\)

Leia-se: 12 está para 18

 

2) Proporção:

A proporção é uma igualdade entre duas ou mais razões.

Exemplos:

a) Se um carro percorre 12 quilômetros com 1 litro de com­bustível, podemos estabelecer a seguintes proporções:

\(\frac{12km}{1l}=\frac{24km}{2l}=\frac{36km}{3l}=…\)

Observe que todas as razões são iguais a 12. Este número é dito constante de proporcionalidade.

 

b) Se uma padaria produz 15 pães em 3 minutos, podemos estabelecer a seguinte proporção:

\(\frac{15\;paes}{3\;min}=\frac{5\;paes}{1\;min}\)

Leia-se: 15 está para 3 assim como 5 está para 1

 

c) Se uma sala de aula possui 12 meninos e 18 meninas, podemos estabelecer a seguinte proporção:

\(\frac{12\;meninos}{18\;meninas}=\frac{2\;meninos}{3\;meninas}\)

Isto nos diz que a razão de alunos desta sala é de 2 meninos para cada 3 meninas.

 

 

2) Grandeza:

Definimos que uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido como, por exemplo, o tempo, quantidade de pessoas, número de dias, altura de uma pessoa, entre outras.

a) Unidade de Medida

Unidade de medida é um sistema criado para quantificar uma grandeza. Vamos aos exemplos:

a) Dizemos que a hora, o minuto e o segundo são unidades de medida de tempo.

b) Dizemos que o quilômetro, o metro, o centímetro e o milímetro são unidades de medida de comprimento.

c) Dizemos que o litro e o metro cúbico são unidades de medida de volume.

 

b) Comparando Grandezas

⇒ REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

♦ 1º Caso: Grandezas diretamente proporcionais

Vamos ao exemplo:

Filomena pretende fazer uma viajem para a casa de sua mãe que é distante 420 quilômetros da sua. Para tal viajem Filo­mena precisa abastecer seu carro com 35 litros de gasolina. Qual a distância percorrida pelo carro de Filomena com um litro de gasolina?

Solução:
Com os dados do exercício podemos construir a seguinte tabela:

Distância Percorrida (km)

Volume de Combustível (l)
420 35
x 1

Observe que a medida que a quantidade de combustível diminui temos que a distância percorrida pelo carro tam­bém diminui. Se aumentarmos a quantidade de combustível aumentamos a distância percorrida. Logo as duas grandezas apresentam o mesmo comportamento. Quando isso acontece temos um caso de grandezas diretamente proporcionais.

Como temos um caso de G.D.P. mantemos a proporção entre as duas razões, assim:

\(\frac{420}{x}=\frac{35}{1} \Rightarrow 35x=420\times 1 \Rightarrow 35x=420 \Rightarrow x=\frac{420}{35} \Rightarrow x=12\)

Portanto o carro de Filomena percorre 12 km com 1 litro de combustível.

 

♦ 2º Caso: Grandezas inversamente proporcionais

Vamos ao exemplo:

Um carro de corrida, andando a 80 km/h, percorre determi­nado percurso em 50 minutos. Se o mesmo carro, andando agora a 100 km/h, quanto tempo será necessário para per­correr o mesmo percurso?

Solução:
Com os dados do exercício podemos construir a seguinte tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (min)
80 50
100 x

Observe que a medida que a velocidade aumenta temos que o tempo gasto para percorrer o percurso diminui. Logo as duas grandezas apresentam comportamento contrário. Quando isso acontece temos um caso de grandezas inversa­mente proporcionais.

Como temos um caso de G.I.P. mantemos uma razão (será a razão que apresentar a variável) e inverteremos a outra colocando-as em uma proporção, assim:

\(\frac{100}{80}=\frac{50}{x} \Rightarrow 100x=50\times 80 \Rightarrow 100x=4000 \Rightarrow x=\frac{4000}{100} \Rightarrow x=40\)

Portanto o carro irá levar 40 minutos para realizar o percurso.

Obs.: Estes dois primeiros casos são conhecidos como REGRAS DE TRÊS SIMPLES.

♦ 3º Caso: Regra de três composta

Vamos ao exemplo:

Em uma empresa, 10 funcionários produzem 3000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. Então por quan­tos dias, aproximadamente 16 funcionários, trabalhando 4 horas por dia e no mesmo ritmo dos anteriores, produzirão 7000 peças?

Solução:
Com os dados do exercício podemos construir a seguinte tabela:

Nº Funcionários Nº de peças Nº de dias Horas
10 3000 5 8
16 7000 x 4

Para resolvermos este tipo de problema, ou seja, uma situa­ção que apresenta uma comparação de mais de duas grande­zas, analisamos a grandeza que apresenta a variável com as outras. Observe que:

Nº de dias e Nº de funcionários G.I.P

Nº de dias e Nº de peças G.D.P.

Nº de dias e Horas por dia G.I.P.

Logo:

\(\frac{5}{x}=\frac{16}{10}\times \frac{3000}{7000}\times \frac{4}{8} \Rightarrow \frac{5}{x}=\frac{8}{5}\times \frac{3}{7}\times \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{5}{x}=\frac{24}{70}\Rightarrow 24x=5 \times 70 \Rightarrow 24x=350 \Rightarrow x=\frac{350}{24} \Rightarrow x\cong 15\)

Portanto estes funcionários levarão aproximadamente 15 dias para fabricar as 7000 peças nas condições citadas.