[GER-MT] 6.1 – Apostila

EQUAÇÕES E SUAS SOLUÇÕES

Uma equação é qualquer expressão algébrica que contenha uma igualdade, como por exemplo:

a) x+3 = 5+3x
b) x²-3x+2 = 0
c) 7x = 0

O conjunto solução de uma equação é o conjunto formado pelos valores que, quando substituímos na equação, a tornam verdadeira.

Exemplos:

a) O conjunto solução da equação x+3 = 5+3x é S = {-1}
b) O conjunto solução da equação x²-3x+2 = 0 é S = {1,2}
c) O conjunto solução da equação 7x = 0 é S = {0}

 

O grau de uma equação é dado pelo maior ex­poente das variáveis.

Exemplos:

a) A equação x+3 = 5+3x é de 1º grau
b) A equação x²-3x+2 = 0 é uma equação de 2º grau
c) A equação x4+3x+9 = 0 é uma equação de 4º grau

Observação: Resolver uma equação consiste em encontrar seu conjunto solução!

 

1) Resolução de Equações de 1º Grau:

O método de resolução consiste em isolar a variável x em um dos membros da equação. Você já deve ter ouvido a seguinte expressão “Tudo o que tem x para um lado e o que não tem x para o outro”.

Exemplos:

a) Vamos resolver a equação x+3 = 5+3x.

Assim:
x+3 = 5+3x
x-3x = 5-3
-2x = 2
x = 2/(-2)
x=-1

Portanto seu conjunto solução é S={-1}

 

b) Vamos resolver a seguinte equação: (4x-1)/3 = (x-2)/4

4∙(4x-1) = 3∙(x-2)
16x-4 = 3x-6
16x-3x = -6+4
13x = -2
x = -2/13

Portanto seu conjunto solução é S={-2/13}

 

2) Resolução de Equações de 2º Grau:

Para encontrarmos as soluções de uma equação de 2º grau, pre­cisamos deixá-la escrita na sua forma padrão que é dado por:

ax²+bx+c = 0

Onde a,b,c∈R ;a≠0 são chamados de coeficientes da equação.

Uma equação de 2º grau é dita completa quando b≠0 e c≠0. Caso contrário ela é dita incompleta.

a) Resolução de Equações de 2º Grau Completas

Para resolver tais equações utilizaremos a famosa fórmula de Bháskara que consiste em:

\(\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2 \times a}\;\;onde\;\; \Delta=b^2-4\times a\times c\)

Observe que:

\(\Delta\left\{\begin{matrix}
<0 \Rightarrow sem \;solucao\\
=0 \Rightarrow possui\; uma \;solucao\\
>0 \Rightarrow possui\; duas \;solucoes
\end{matrix}\right.\)

Exemplos:

\(x^2-3x+2=0\\\Delta=(-3)^2-4\times 1 \times 2\\ \Delta=9-8\\ \Delta=1 \rightarrow duas\; soluc.\\\\
x=\frac{-(-3)^2\pm \sqrt{1}}{2 \times 1}\Rightarrow x=\frac{3\pm 1}{2}\\\\\\
x_{1}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2\\
x_{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=2\\
S=\left \{1,2 \right \}\) \(x^2+2x+3=0\\
\Delta =2^2-4\times 1 \times 3\\
\Delta = 4-12\\
\Delta = -8 \rightarrow n\; possui\; soluc.\\
S=\left \{ \varnothing \right \}\)

 

b) Resolução de Equações de 2º Grau Incompletas

⇒ 1º caso: Equações de 2º grau com c = 0

Basta fatorar a equação e resolvê-la como uma equação pro­duto. Veja nos exemplos que seguem:

a) x²-3x = 0
x∙(x-3)= 0 ⇒ x=0 ou x-3=0 ⇒ x=0 ou x=3

Logo seu conjunto solução é S={0,3}

 

b) 3x²+12x = 0
3x∙(x+4)=0 ⇒ 3x=0 ou x+4=0 ⇒ x=0 ou x=-4

Logo seu conjunto solução é S={-4,0}

 

⇒ 2º caso: Equações de 2º grau com b=0

Basta seguir o mesmo raciocínio aplicado nas resoluções de equações de 1º grau. Observe os exemplos:

a) 2x²-32 = 0
2x² = 32
x² = 32/2
x² = 16
x = √16
x = ±4

Portanto seu conjunto solução é S={-4,4}

b) x²+81 = 0
x² = -81
x = √(-81)
Assim como ∄√(-81) temos que o conjunto solução da equa­ção é S=∅