[GER-MT] 13.1 – Apostila

SEMELHANÇA DE FIGURAS PLANAS

Duas figuras geométricas são ditas semelhantes se:

a) Possuem todos os ângulos internos correspondentes congruentes

b) A razão entre os lados correspondentes formam uma proporção. O número obtido através dessas divisões é dito constante de proporcionalidade.

Verificaremos se as figuras abaixo são semelhantes:

1)

1ª condição: Note que todos os ângulos internos correspon­dentes são iguais a 120°. Logo:

\(\hat{A}\cong \hat{A’},\hat{B}\cong \hat{B’},\hat{C}\cong \hat{C’},\hat{D}\cong \hat{D’},\hat{E}\cong \hat{E’},\hat{F}\cong \hat{F’}\)

2ª condição: Observe que:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{A’B’}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{B’C’}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{C’D’}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{D’E’}}=\frac{\overline{EF}}{\overline{E’F’}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{A’F’}}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\)

Logo todas as razões entre os lados correspondentes são as mesmas e elas geram a constante de proporcionalidade 5/3. Portanto as duas figuras são semelhantes.

Notação ABCDEF ~ A’B’C’D’E’F’

 

2)

1ª condição: Note que todos os ângulos internos correspon­dentes são diferentes. Portanto, como não temos satisfeita a primeira condição, concluímos que as figuras não são semelhantes.

 

3)

1ª condição: Note que todos os ângulos internos correspon­dentes são iguais a 90°. Logo:

\(\hat{A}\cong \hat{A’},\hat{B}\cong \hat{B’},\hat{C}\cong \hat{C’},\hat{D}\cong \hat{D’}\)

 

2ª condição: Observe que:

\(\frac{\overline{A’D’}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{B’C’}}{\overline{BC}}=\frac{6}{2}=3\;\;\neq\;\;\frac{\overline{A’B’}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{C’D’}}{\overline{CD}}=\frac{6}{5}\)

Assim todos os lados correspondentes não são proporcionais. Apesar de satisfeita a primeira condição, a segunda condição falha, logo as figuras não são semelhantes.

 

1) Um Caso Especial de Semelhança: Triângulos

Uma figura geométrica muito especial em termos de seme­lhança é o triângulo, pois ele possui teoremas importantes nos quais não é necessária a verificação das duas condições para semelhança.

a) Teorema 1 (Caso AA de semelhança de triângulos)

Dados dois triângulos, se eles possuem dois ângulos internos con­gruentes, então estes triângulos são semelhantes.

Então pelo caso AA de semelhança temos ΔABC ~ ΔA’B’C’

 

b) Teorema 2 (Caso LLL de semelhança)

Dados dois triân­gulos, se todos os lados correspondentes são proporcionais, então estes dois triângulos são semelhantes.

Então pelo caso LLL de semelhança temos ΔABC ~ ΔA’B’C’

 

c) Teorema 3 (Caso LAL de semelhança)

Dados dois triân­gulos, se dois lados correspondentes são proporcionais e o ângulo entre os lados correspondentes são congruentes, então estes triângulos são semelhantes.

Então pelo caso LAL de semelhança temos ΔABC ~ ΔA’B’C’