[GER-MT] 7.1 – Apostila

SISTEMAS DE EQUAÇÕES

Um sistema de equações consiste de várias equa­ções e várias incógnitas. Observe os exemplos que seguem:

\(
\begin{cases}
2x+4y-3z=19 \\
4x+2y-2z=7 \\
5x+3y-z=11
\end{cases}
\)

é um sistema de 3 equações e 3 incógnitas

\(
\begin{cases}
4x+2y-7z=-6 \\
3x+2y-z=15 \\
\end{cases}
\)

é um sistema de 2 equações e 3 incógnitas

\(
\left \{ \begin{matrix}
x+y=9\\
x+z=5\\
x+w=7\\
x+t=11
\end{matrix} \right.
\)

é um sistema de 4 equações e 5 incógnitas

Observe que resolver um sistema de equações é encontrar seu conjunto solução, isto é, determinar os valores das incóg­nitas que tornam o sistema verdadeiro.

IMPORTANTE: Nesta aula trataremos, somente, da resolução de sistemas de 2 equações e 2 incógnitas.

1) Resolução de Sistemas com 2 Equações e 2 Incógnitas:

Este método consiste na soma das duas equações com o propósito de desaparecer com uma variável.

Observe o exemplo:
\(
\left\{\begin{matrix}
4x+6y=14\\
x+3y=5
\end{matrix}\right.
\)

Para facilitar as contas, multiplicaremos a 2ª equação por 2.

\(
\left\{\begin{matrix}
4x+6y=14\\
2x+6y=10
\end{matrix}\right.
\)

Assim:

E subtrairemos a primeira equação da segunda. Logo:

2x=4 ⇒ x=4/2 ⇒ x=2

Voltando para a segunda equação:

x+3y=10 ⇒ 2+3y=5 ⇒ 3y=5-2 ⇒ 3y=3 ⇒ y=3/3 ⇒ y=1

Portanto o conjunto solução do sistema é:

S={(x,y)|(2,1)}

 

a) Método da Substituição

Este método consiste em isolarmos uma variável em uma equação e substituir na outra. Observe o exemplo:

\(
\left \{ \begin{matrix}
\frac{x}{y}=3 \\
x+2y=-15
\end{matrix} \right.
\)

Isolando x na primeira equação obtemos que:

x = 3y

Substituindo na segunda equação chegamos que:

x+2y = -15 ⇒ 3y+2y = -15 ⇒ 5y = -15 ⇒ y = -15/5 ⇒ y=-3

Logo:

x = 3y ⇒ x = 3∙(-3) ⇒ x=-9

Portanto o conjunto solução do sistema é:

S={(x,y) | (-9,-3)