[GER-MT] 1.1 – Apostila

TEORIA DE CONJUNTOS [INTRODUÇÃO]

Conjuntos – Definição: Um conjunto é uma coleção ou um amontoado de objetos.

Exemplos:

  • Uma coleção de revistas
  • Os alunos de sua turma
  • Uma coleção de bolinhas de gude
  • Uma coleção de bonecas

 

1) Elementos de um Conjunto:

São ditos elementos de um conjunto todo objeto que faz parte da coleção.

Exemplos:

  • Você é um elemento do conjunto de alunos de sua escola
  • Uma rosa é um elemento do conjunto de todas as flores
  • O Brasil é um elemento do conjunto de todos os países da América do Sul

 

2) Conjuntos Numéricos:

Como objeto de nosso estudo vamos caracterizar os conjun­tos numéricos. Os conjuntos numéricos são conjuntos cujos objetos são números. Vamos nomeá-los com letras maiúscu­las do nosso alfabeto.

 

a) Representação de um conjunto numérico

Podemos representar um conjunto numérico de duas maneiras:

⇒ Listagem dos elementos: consiste em listar todos os elementos do conjunto, como por exemplo:

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

P={0,2,4,6,8,10,…}

 

⇒ Caracterização por determinada propriedade:

\(A=\left \{ x \in \mathbb{N} | 1\leq x \leq10 \right \}\) \(P=\left \{ x \in \mathbb{N} | x\; par \right \}\)

 

⇒ Diagramas

 

3) Cardinalidade de Um Conjunto

A cardinalidade de um conjunto X, denotada por n(X), é a quantidade elementos do conjunto X.

a) Conjuntos finitos

Dizemos que um conjunto X é finito quando possui um número finito de elementos.

Exemplos:

A={0,1,2,3,4,5} é um conjunto finito e n(A) = 6

B={-1,0,1} é um conjunto finito e n(B) = 3

 

b) Conjuntos Infinitos

Dizemos que um conjunto X é infinito quando possui um número infinito de elementos.

Exemplo:

C={1,3,5,7,9,11,13…} é um conjunto infinito e definimos n(C)= ∞

 

c) Conjunto Vazio

O conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento e re­presentamos tal conjunto por X={ }=∅ e definimos n(∅)=0.

 

 

4) Relação Entre Conjuntos:

a) Relação de Pertinência

É a relação que caracteriza elementos pertencentes a um determinado conjunto X. Se um determinado elemento x pertence ao conjunto X escrevemos x∈X, caso contrário escrevemos x∉X.

Exemplo:

Seja P={0,2,4,6,8,10,12,…} temos que

10 ∈ P, 20 ∈ P, 15 ∉ P, -5 ∉ P.

 

b) Relação de Inclusão

Antes de definirmos tal relação vamos a um exemplo mais informal. Seja B o conjunto de todos os brasileiros e a partir daí defina M como o conjunto de todas as mulheres brasi­leiras e H como o conjunto de todos os homens brasileiros. Observe que os conjuntos M e H estão contidos no conjunto B, ou seja, todo elemento do conjunto M é elemento do conjunto B e todo elemento do conjunto H é elemento do conjunto B.

Assim definimos a relação de inclusão como “Um conjunto Y é um subconjunto do conjunto X se todo elemento de Y é elemento de X ” e denotamos Y⊂X e leremos “Y é subcon­junto de X” ou “Y está contido em X”.

Observe a figura:

Caso contrário dizemos que “ Y não é subconjunto de X” ou “Y não está contido em X” e denotamos por Y⊄X.

Obs.:

  • Todo conjunto de X está contido nele mesmo (XX)
  • O conjunto vazio está contido em qualquer X (∅⊂X X)

 

 

5) Operações com Conjuntos:

a) União

Definimos a união de dois conjuntos como a junção de todos os elementos do conjuntos, em simbologia temos:

\(X\cup Y=\left \{ x | =x\in X ou\; x\in Y \right \}\)

Exemplo:

\(Se\; A=\left \{ 1,3,7,9 \right \} e\; B=\left \{-3,-1,0,6,8 \right \} \; logo\; A\cup B=\left \{ -3,-1,0,1,3,6,7,8,9\right \}\)

 

⇒ PROPRIEDADES IMEDIATAS

  1. AA=A
  2. AB=BA, ou seja, a operação de união é comutativa
  3. A∪∅=A, ou seja, o conjunto é o elemento neutro da união

 

b) Interseção

Definimos a interseção entre dois conjuntos como os elem­ntos em comum entre os conjuntos, em simbologia temos X∩Y≔{ x| x∈X e x∈Y}

Exemplo:

\(Se\; A=\left \{ 1,3,7,9 \right \} e\; B=\left \{-2,0,\sqrt{3},3,6,7 \right \} \; logo\; A\cap B=\left \{ 3,7\right \}\)

 

⇒ PROPRIEDADES IMEDIATAS

  1.  AA = A
  2. A∩∅ 
  3. AB = BA, ou seja, a operação de interseção é comutativa.

IMPORTANTE: Se AB=dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos ou separáveis.

 

 

6) Conjuntos Numéricos Notáveis:

a) Naturais

É o conjunto numérico de todos os números positivos e inteiros e denotado por \(\mathbb{N}=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,… \right \}\)

b) Inteiros

É o conjunto numérico de todos os números positivos intei­ros, negativos inteiros e o zero e denotado por \(\mathbb{Z}\left \{ …,-3,-2,-1,0,1,2,3,… \right \}\)

 

c) Racionais

É o conjunto numérico no qual estão todas as frações e de­notado por \(\mathbb{Q}=\left \{ \frac{p}{q} | p \in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N} \; e\; q\neq 0\right \}\)

 

d) Irracionais

É o conjunto de todos os números que não podem ser escritos na forma de fração. Entre eles estão todas as raízes n-ézimas não exatas, a constante π, a constante de Euler e, entre outras que estudaremos depois. Este conjunto é deno­tado por \(\mathbb{I}=\left \{ -\sqrt{3},\sqrt\frac{3}{2},\epsilon, \pi ,…\right \}\)

 

e) Reais

É o conjunto formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais e denotado por \(\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup\mathbb{I}\).

Com estas informações podemos concluir que \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \).

 

7) Reta Real e Intervalos na Reta:

A reta real é uma reta na qual encontram-se todos os núme­ros reais. Observe a figura:

Note que nesta reta estão localizados todos os números, os naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais.

a) Intervalos na reta

Intervalos são fragmentações da reta real. Observe as defini­ções abaixo:

⇒ Intervalos fechados: São os intervalos cujos extremos pertencem ao intervalo.

Notação: \([a,b] = \left \{ x \in \mathbb{R} | a\leq x \leq b \right \}\)

⇒ Intervalos abertos: São os intervalos cujos extremos não pertencem ao intervalo.

Notação: \(]a,b[ = \left \{ x \in \mathbb{R} | a< x< b \right \}\)

⇒ Intervalos semi-abertos ou semi-fechados: São os inter­valos fechado em um extremo e aberto no outro.

Notação: \([a,b[ = \left \{ x \in \mathbb{R} | a\leq x < b \right \}\) e \(]a,b] = \left \{ x \in \mathbb{R} | a< x \leq b \right \}\)respectivamente.

⇒ Intervalos infinitos: São os intervalos que possuem somente um dos extremos, aberto ou fechado.

\([a,+\infty) = \left \{ x \in \mathbb{R}|a\leq x \right \}\)

\(]a,+\infty) = \left \{ x \in \mathbb{R}|a< x \right \}\)

\((-\infty,b] = \left \{ x \in \mathbb{R}|b /geq x \right \}\)

\((-\infty,b[ = \left \{ x \in \mathbb{R}|b > x \right \}\)

 

IMPORTANTE: Os intervalos da reta também são conjuntos numéricos. Assim podemos também utilizar as relações de união e inclusão e fazer as operações de união e interseção. Observe os exemplos:

  • 2∈[1,3]
  • [0,2]⊂[-1,+∞)
  • [0,2[∩[2,5]=∅

 

8) Relação Fundamental Entre Dois Conjuntos:

Dados dois conjuntos X e Y temos que a relação n(X∪Y)=n(X)+n(Y)-n(X∩Y) é dita relação fundamental dos conjuntos.

 

Exemplo de aplicação: Após um jantar, foram servidas as sobremesas A e B. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa A, 7 comeram a sobremesa B e 3 comeram as duas. Quantas pessoas não comeram nenhuma das duas sobremesas?

Solução:

Adote os seguintes conjuntos: A={pessoas que comeram a sobremesa A} e B={pessoas que comeram a sobremesa B}.

Após estas duas definições básicas temos que A∪B={pessoas que comeram as sobremesas A ou B} e A∩B={pessoas que comeram as duas sobremesas}.

Ob­serve também que n(A)=5,n(B)=7 e n(A∩B)=3. Assim, pela relação fundamental dos conjuntos temos que:

n(X∪Y)=n(X)+n(Y)-n(X∩Y)

n(X∪Y)=7+5-3

n(X∪Y)=9

Como existiam 10 pessoas no jantar concluímos que 10-9=1 pessoa não comeu nenhuma das duas sobremesas.

Em termos de diagramas temos a seguinte situação: